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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

EJERCICIO 1

Dadas las sucesiones an=nn+1bn=2n−1(2n−1)3cn=(−1)n+1n!dn=cos⁡(nπ)n \begin{array}{ll} a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{n+1} & b_{n}=\frac{2^{n-1}}{(2 n-1)^{3}} \\ c_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n !} & d_{n}=\frac{\cos (n \pi)}{n} \end{array} Calcule a9;b5;c3;d11a_{9} ; b_{5} ; c_{3} ; d_{11}.

EJERCICIO 2

Para cada una de las siguientes sucesiones, proponga el término general ana_{n} y clasifique las mismas en convergentes o divergentes.

a) 1,2,3,4,…1,2,3,4, \ldots
b) −1,−12,−13,−14,…-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \ldots
c) 1,−12,13,−14,…1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \ldots
d) 12,−14,18,−116,…\frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8},-\frac{1}{16}, \ldots
e) −1,2,−3,4,…-1,2,-3,4, \ldots
f) 0,12,0,13,0,14,…0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, \ldots
g) 1,−1,1,−1,…1,-1,1,-1, \ldots
h) 2,32,43,54,…2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots
i) 1,1,12,2,13,3…1,1, \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3 \ldots
EJERCICIO 3

Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.

a) an=(1n+2nn+1)3a_{n}=\left(\frac{1}{n}+\frac{2 n}{n+1}\right)^{3}
b) bn=3n2+22n2+5nb_{n}=\frac{3 n^{2}+2}{2 n^{2}+5 n}
c) cn=3n2+22n3+5nc_{n}=\frac{3 n^{2}+2}{2 n^{3}+5 n}
d) dn=−4n3+2n2−3n−15n2+4d_{n}=\frac{-4 n^{3}+2 n^{2}-3 n-1}{5 n^{2}+4}
e) en=n3+2n2−1e_{n}=\frac{\sqrt{n^{3}}+2}{n^{2}-1}
f) fn=4n2−19n2+2f_{n}=\sqrt{\frac{4 n^{2}-1}{9 n^{2}+2}}
g) gn=−nn2−n+ng_{n}=\frac{-n}{\sqrt{n^{2}-n}+n}
EJERCICIO 4

Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.

a) an=n2−5n+7n+3+n2+5n+1a_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}
b) bn=n2−5n+7n+3−n2+5n+1b_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1}
c) cn=n2+n−2+nc_{n}=\sqrt{n^{2}+n-2}+n
d) dn=n2+n−2−nd_{n}=\sqrt{n^{2}+n-2}-n
e) en=n2+1−n2−n−3e_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-n-3}
f) fn=2n2−13n2+2+3n−12n+3f_{n}=\sqrt{\frac{2 n^{2}-1}{3 n^{2}+2}}+\frac{3 n-1}{2 n+3}
g) gn=n(n+2−n)g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})
h) hn=n(n+2−n)h_{n}=n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})
i) in=nn+1−ni_{n}=\frac{n}{\sqrt{n+1}-n}
j) jn=n(n2+2−n)j_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n})
EJERCICIO 5

Calcule, si existen, los siguientes límites

a) lim⁡n→∞cos⁡n+5n\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos n+5}{n}
b) lim⁡n→∞(−1)n(n+2−n)\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})
c) lim⁡n→∞(2+(−1)n)sen⁡nn\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(2+(-1)^{n}\right) \operatorname{sen} n}{n}
EJERCICIO 6

Calcule el siguiente límite lim⁡n→∞(3nn+1+(−1)nn5+cos⁡n2−n6) \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n}{n+1}+(-1)^{n} \frac{n^{5}+\cos n}{2-n^{6}}\right)

EJERCICIO 7

Halle los valores de aa y bb para que lim⁡n→∞an6+3bn4+2n5n4−3n+4=4 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a n^{6}+3 b n^{4}+2 \sqrt{n}}{5 n^{4}-3 n+4}=4

EJERCICIO 8

Calcule el siguiente límite lim⁡n→∞(3+7n25+n2+n2+6n+17−n2+17). \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}+\sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}\right) .

EJERCICIO 9

¿Para qué valor de a∈Ra \in \mathbb{R} vale que lim⁡n→∞n2(n2+a−n2+3)=a−5? \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right)=a-5 ?

EJERCICIO 10

Sea an=9n2+bn−3na_{n}=\sqrt{9 n^{2}+b n}-3 n.

a) Encuentre todos los b∈Rb \in \mathbb{R} para los cuales 0<lim⁡n→∞an<10<\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}<1
b) Encuentre b∈Rb \in \mathbb{R} para que lim⁡n→∞an=2b−11\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2 b-11
EJERCICIO 11

Encuentre p>0p>0 sabiendo que existe y es positivo el lim⁡n→∞n2(np+7−np+2) \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{p}+7}-\sqrt{n^{p}+2}\right)

EJERCICIO 12

En cada caso, marque la única respuesta correcta

a) Si lim⁡n→∞an=+∞\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty y bnb_{n} es acotada, entonces lim⁡n→∞(an+bn)\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)
□\square oscila
□\square tiende a más infinito
□\square es una indeterminación
□\square está acotada.
b) La sucesión n4n+1+cos⁡n\frac{n^{4}}{n+1}+\cos n
□\square oscila
□\square tiende a más infinito
□\square es una indeterminación
□\square está acotada.
c) Si lim⁡n→∞an=0\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 y lim⁡n→∞bn=+∞\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty, entonces lim⁡n→∞anbn\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}
□\square es igual a 00.
□\square tiende a más infinito
□\square es una indeterminación
□\square no existe.
EJERCICIO 13

Marque la única respuesta correcta

El lim⁡n→∞1n−1n2+1=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}-1}{n^{2}+1}=
□\square 0
□−∞\square-\infty
□+∞\square+\infty
□\square 1

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